Cinemática (II): algunos tipos de


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1 9 Cinemática (II): alunos tipos de La velocidad de un barco es de 4 nudos. Sabiendo que un nudo corresponde a una velocidad de milla náutica/h y que una milla náutica equivale a,85 km, calcula la velocidad del barco en m/s. 4 millas 4 nudos = h La ecuación de movimiento de un ciclista durante una contrarreloj es la siuiente: r(t) = 45 t. (El espacio se expresa en km, y el tiempo, en horas.) a) Cuál es la velocidad del ciclista? Expresa el resultado en km/h y en m/s. b) Cuánto tiempo emplea en recorrer 55 km? s(t) = 45 t ; s = v t (ecuación del movimiento) 3 45 km m h a) =, 5 m/s h km 36 s Para pasar de km/h a m/s se divide por 3,6. b) De la ecuación del movimiento se despeja t. s = v t t La conductora de un camión que circula a una velocidad de 9 km/h observa un obstáculo en la calzada y justo en ese momento pisa el freno, lo que proporciona al vehículo una aceleración constante de,5 m/s. Calcula la distancia desde el camión hasta el obstáculo si el camión se detiene justo a su lado al cabo de s. Es un movimiento rectilíneo uniformemente decelerado. 9 km m h = = 5 m/s h km 36 s v 3 h 85 km m 36 s milla km s 55 km = = =, h v 45 km/h s = vt at s = 5 m/s s, 5 m/s s = 75m =, 6 m/s Se empuja un cuerpo sobre una superficie horizontal hasta que alcanza una velocidad de 5 m/s, tras lo cual se deja libre. A partir de este momento, la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza de rozamiento, que lo frena con una aceleración de,5 m/s. Calcula el espacio que recorre hasta pararse y la velocidad después de recorrer 8 m, contando desde que el cuerpo se dejó de impulsar. Es un movimiento rectilíneo uniformemente decelerado. v = v at Si v = v at = v = at. Por tanto: v 5 m/s t = = = s tarda en pararse a 5, m/s 36

2 movimiento SOLUCIONARIO El espacio recorrido hasta pararse es: s = vt at = 5 = m/s s, 5 m /s s 5 m La velocidad después de recorrer 8 m se puede calcular con la ecuación: v v = as v = v as = = 5 (m/s),5 m/s 8 m = 7 m /s v = 4, m/s 5. Si un juador de baloncesto lanza un tiro libre con un ánulo de 3 respecto a la horizontal desde una altura de, m sobre el suelo, con qué velocidad ha de lanzar la pelota sabiendo que la distancia horizontal del punto de tiro al aro es de 5 m y que este está a 3,5 m de altura? Es un movimiento parabólico con aceleración constante. v 3 3,5 m a = (, ) r = (, h) v = (v cos α, v sen α) La ecuación del movimiento de la pelota es: 5 m r = r + v t + at r = (, h) + (v cos α, v sen α) t + (, )t Cuyas componentes son: x = v cos α t ; y = h + v sen α t t x Se despeja t de la primera, t =, y al sustituir en la seunda v cos α se obtiene la ecuación de la trayectoria: x x y = h+ v sen α v cos α v cos α y = h + x t α x v cos α Se sustituye y por 3,5 m y x por 5 m y se despeja v : 98, m/s 35, m =, m+ 57, 5m, 75 v 5 m 63, 33 v = m/s = 8, 66 m/s = 9, 4 37

3 9 Cinemática (II): alunos tipos de a) Qué debe hacer un juador de baloncesto para estar el máximo tiempo posible en el aire? Correr muy deprisa antes de saltar? b) Si un determinado juador puede estar,6 s en el aire y sube unos 6 cm, cuál es su velocidad de salto? a) El tiempo que está en el aire depende solo de la velocidad vertical en el momento del salto, y es independiente de la velocidad horizontal (velocidad a la que corre). Lo que debe hacer es impulsarse lo máximo posible hacia arriba. b) Ecuación de movimiento del juador: y = vt t. Haciendo y = y sustituyendo t por,6 s (tiempo que tarda en subir y bajar) se calcula v. v = vt t v t = v v t = = t =, m/s, s =, m/s Queremos clavar un dardo en una diana cuyo centro está por encima de nuestra mano al lanzar. a) Debemos apuntar directamente al blanco? b) Más arriba? Más abajo? Por qué? a) No, porque el dardo, seún recorre distancias horizontales, también recorre distancias verticales, y chocará debajo del punto al que se apunta. b) Hay que apuntar más arriba, de forma que impacte en un punto inferior al que se apunta. Todo ello se puede comprobar a partir de las ecuaciones del movimiento y la fiura. v x = vx t y = v y t 38

4 movimiento SOLUCIONARIO Se puede comprobar que sen α cos α=sen α. Reescribe la fórmula para el alcance teniendo esto en cuenta y comprueba que el ánulo de lanzamiento para el que el alcance es máximo es de 45. Representa ráficamente (usando una hoja de cálculo, por ejemplo) varias trayectorias con la misma velocidad inicial y diferente ánulo de lanzamiento y compáralas. A partir de la ecuación del alcance: Si α = 45, sen α = = sen 9 = v y x = que es el máximo valor de x. 45 Contesta: a) Con qué velocidad hay que lanzar un balón de fútbol para que, si lo olpeamos sin efecto y con un ánulo de 45 respecto a la horizontal lleue al otro extremo de un campo de m de laro? b) Cuando el balón va por el aire, a qué distancia del punto de lanzamiento estaría el balón a,8 m por encima del suelo? a) A partir de la ecuación del alcance con α =45 : v sen α v sen 9º v x = = = b) v sen α cos α v ( sen α cos α) v sen α x = = = v = x = 9, 8 m/s m = 98 m /s v = 3, 3 m/s 6 3 v,8 m,8 m x = m x = 98 m Hay dos puntos a,8 m del suelo. Ecuaciones del movimiento del balón: x = v cos α t y = v sen α t t Sustituyendo y por,8 m y v por 3,3 m/s, se despeja t , m =, m/s sen t, m/s t 39

5 9 Cinemática (II): alunos tipos de Al resolver la ecuación resulta: t =,9 s y t = 4,43 s Y los valores corrrespondientes de x son: x = 3,3 m/s cos 45,9 s = m x = 3,3 m/s cos 45 4,43 s = 98 m La suma de x y x da m, como debe ser. Ambos puntos se encuentran a m del orien y del final de la trayectoria.. Nos tiran una pelota desde un balcón a m de altura con una velocidad inicial de5, km/h con un ánulo de 5 por debajo de la horizontal. a) Dónde y cuándo llea al suelo? b) Y si lo lanzamos con un ánulo de 5 por encima de la horizontal? Y v cos α a) v = 5, km/h = 4, m/s Ecuación del movimiento de la pelota seún el eje Y: y = v sen α t t 5 v sen α v Al sustituir y por m se obtiene el tiempo en llear al suelo: = , sen t, t 4,9 t +,8 t = t =,9 s Ecuación del movimiento de la pelota seún el eje X: x = v cos αt; t =,9 s x = 4, m/s cos 5,9 s = 7,73 m b) La ecuación del movimiento seún el eje Y es ahora: y = v sen α t t Al sustituir y por m se obtiene: 4,9 t,8 t = t =,3 s Y al sustituir en la ecuación del movimiento seún x se obtiene: x = 4, m/s cos 5,3 s =,97 m m m Y 5 X X. Ahora vas a calcular el alcance máximo, el tiempo de caída, t c, y la altura máxima de una manera diferente. Partiendo de las ecuaciones ya conocidas, calcula el tiempo t / en el que se alcanza la altura máxima aprovechando que para él se cumple v y =. Eso te permite obtener la altura máxima y, racias a la simetría del problema ya tienes la mitad de t c y puedes calcular el alcance máximo. 4

6 movimiento SOLUCIONARIO Partiendo de las ecuaciones: x = v t y = v t t ; sen α cos α vx = v cos α vy = v sen α t para calcular el tiempo pedido se hace v y = : v sen α v sen α t = t = Al sustituir en y se obtiene la altura máxima: v sen α y v v sen α v sen α = sen α = El alcance máximo se obtiene al sustituir el doble del tiempo calculado antes en la ecuación de y: x v sen α v sen α cos α v sen α = v cos α = =. 3. Se deja caer una pelota desde la azotea de un edificio de 44 m de altura: a) Calcula el tiempo que tarda la pelota en llear al suelo. b) Con qué velocidad (expresada en km/h) llea al suelo la pelota del apartado anterior? a) La ecuación del movimiento tomando el orien v = de coordenadas en la superficie de la Tierra es: y = y t ( y = 44 m) Cuando la pelota llea al suelo y =. y y 44 m = y t t = = = 3 s 98, m/s b) v = t = 9,8 m/s 3 s = 9,4 m/s (hacia abajo) Una bola que rueda sobre una mesa con una velocidad de,5 m/s cae al suelo al llear al borde. Si la altura de la mesa es de 8 cm, calcula: a) El tiempo que tarda en caer. b) La distancia horizontal recorrida desde la vertical de la mesa hasta el punto en el que la bola choca con el suelo. a) Las ecuaciones del movimiento de la bola son: x = vt y = t v =,5 m/s 4

7 9 Cinemática (II): alunos tipos de Haciendo y =,8 m se calcula el tiempo que tarda en caer: 8= = = 98, 8 m,, t t 4, s 98, m/s b) Y la distancia recorrida es: x = v t =,5 m/s,4 s =, m 4. Un futbolista chuta hacia la portería con una velocidad inicial de 7 m/s y un ánulo de tiro con la horizontal de 45, calcula: a) El alcance máximo. b) El tiempo de vuelo. Y v 45 X 5. v sen α ( 7 m/ s) sen 9 a) Alcance x = = = 9, 5 m 98, m/s b) T. de vuelo t Nos tiran horizontalmente una pelota desde un balcón a m de altura sobre el suelo y cae a 6 metros de la vertical de la terraza. a) Cuánto tarda en llear al suelo? b) Con qué velocidad se lanzó? a) Ecuaciones del movimiento de la pelota: x = vt 6 y = t (orien en el balcón) De la seunda, al sustituir y por m se obtiene el tiempo que tarda en llear al suelo: b) De la primera: v t v sen α 7 m/ s sen 45 = = = 45, 98, ms / y (m) v y = m = = 43, s 98, m/s x 6 m = = = 4, m/s t 43, s x (m) 4

8 movimiento SOLUCIONARIO 6. Determina si las siuientes frases son verdaderas o falsas: a) La velocidad anular se mide en rad/s. b) La velocidad lineal de un punto de la circunferencia se puede medir con el ánulo recorrido por unidad de tiempo. c) Todos los radios de una rueda de bicicleta tienen la misma velocidad anular. a) Verdadero. ω= ϕ ; ϕ en rad y t en s. t b) also. Se mide en m/s (velocidad lineal). c) Verdadero. Todos iran el mismo ánulo en el mismo tiempo. 7. Un disco de 4 cm de radio ira a 33 rpm. Calcula: a) La velocidad anular en rad/s. b) La velocidad anular en rad/s en un punto situado a cm del centro. c) El número de vueltas por minuto. a) π rad ω = 33 v/min =, π rad/s 6 s v b) La misma (ω no varía con R). Es v la que varía con R (v = ωr). c) ϕ=ωt =, rad/s 6 s = 66π rad El número de vueltas es: ϕ 66π N = = = 33 vueltas (como decía el enunciado) π π 8. En el siuiente esquema reconoce: a) La aceleración normal. b) La velocidad lineal. c) El ánulo recorrido y el radio. Respuesta ráfica. v a N α R 43

9 9 Cinemática (II): alunos tipos de 9. Calcula la velocidad lineal del borde de una rueda de 75 cm de diámetro si ira a rpm. π rpm = rad/s = 33, 3π rad/s 6 v = ωr = 33, 3π rad/s, 75 m = 78, 54 m/s. Dos niños van montados en dos caballitos que iran solidarios con la plataforma de un tiovivo con ω = 4 rpm. Si la distancia de los caballos al eje de iro es de y 3 m, calcula: a) La velocidad anular en rad/s. b) El número de vueltas que dan los niños en cinco minutos. c) El espacio recorrido por cada uno de ellos en ese tiempo. d) Qué niño se mueve con mayor aceleración total? 4 π a) ω = 4 rpm = rad/s = 3, π rad/s 6 b) Si dan 4 vueltas en minuto, en 3 minutos darían vueltas. c) s =ϕ R = π m = 57,96 m s =ϕ R = π 3 m = 6,94 m v d) Ambos tienen solo aceleración normal: an = = ω R. R Como ambos tienen la misma ω, tendrá mayor aceleración el que se encuentra más lejos, o sea, el caballo situado a 3 m.. Una rueda que ira a 3 rpm es frenada y se detiene completamente a los s. Calcula: a) La aceleración anular. b) La velocidad a los 3 s después de comenzar el frenado. c) El número de vueltas que da hasta que frena. 3 rev rad min ra min π rev 6 s = π d/s Δω π rad/s a) α = = = π rad/s Δt s b) ω=ω α t = π rad/s πrad/s 3 s = 7 π rad/s ω π rad/s c) ω = = ω α t t = = = s α π rad/s θ= ω t - α t = π π = 5 π rad = 5 vueltas 44

10 movimiento SOLUCIONARIO. Se deja caer una rueda de 3 cm de radio por un plano inclinado, de forma que su velocidad anular aumenta a un ritmo constante. Si la rueda parte del reposo y llea al final del plano al cabo de 5 s con una velocidad anular de π rad/s, calcula: a) La aceleración anular. b) La velocidad anular a los 3 s. c) La aceleración tanencial y normal al final del plano. a) Es un movimiento circular y uniformemente acelerado. ω π π α = Δ Δ = rad/s t 5s = rad/s 5 π b) ω = αt = rad/s = π 5 3 s, 6 rad/s c) a = ω R = ( 6, ) π ( rad/s) 3, m = 7, m/s N a T π = α R = ( rad/s ) 3, m = 8, m/s 5 3. Demuestra las relaciones: a) ω ω = αθ b) ω +ω = αθ Movimiento con ω creciente: Se despeja t en la primera y se sustituye en la seunda. ω t = ω = ω ω + ( ω α ω ω ) ϕ α α α ϕ = ω ω ω α ω = ω + αt ϕ = ωt + αt De la misma manera, partiendo de: ω ω = α ϕ ω = ω αt ϕ = ωt αt Para movimiento con ω decreciente se obtiene: + ω + ω ωω ω ω = α α ω ω = α ϕ 45

11 9 Cinemática (II): alunos tipos de Una pelota que se suelta desde una cierta altura tarda seundos en caer al suelo. a) Durante cuál de esos seundos se produce un mayor incremento de la velocidad? b) Y del espacio recorrido? a) Δv = a Δt. La aceleración es = 9,8 m/s. La variación de la velocidad para cada Δt = s es Δv = 9,8 m/s, es decir, siempre la misma. La velocidad va aumentando cada seundo en 9,8 m/s. b) La velocidad cada seundo es mayor y el espacio recorrido en ese seundo también lo es. El mayor incremento en el espacio recorrido ocurre en el último seundo. Todo ello se puede deducir de la expresión: s = v Δ t + ( Δt) donde v es la velocidad al comienzo de cada intervalo de tiempo, al final del semento anterior al que se va a calcular s, y Δt = s. Se dejan caer dos bolas de acero de masas 5 k y k. a) Cuál de ellas lleará antes al suelo? b) Cuál lleará con una mayor velocidad? a) Ambas llean a la vez. La aceleración es iual para las dos e iual a. El tiempo que tardan en llear al suelo es: s = t t = Como se ve en la ecuación anterior el tiempo no depende de la masa. b) Ambos llean con la misma velocidad: v = t, independientemente de su masa. Contesta: a) Qué tipo de movimientos se dan cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido? b) Y si es distinto? Pon ejemplos. a v a) Se trata de un movimiento rectilíneo donde la velocidad crece con el tiempo. Ejemplo: un coche que se mueve por una carretera recta acelerando o un cuerpo que se deja caer desde cierta altura. s 46

12 movimiento SOLUCIONARIO a v b) G Se trata de un movimiento rectilíneo como antes, pero de velocidad decreciente. Ejemplo: lanzamiento vertical y hacia arriba de un cuerpo Qué es lo más peliroso en un choque: la velocidad o la aceleración? La velocidad. Un coche puede estar prácticamente parado y tener aceleración (al arrancar, por ejemplo). En este caso, el choque no sería muy peliroso. Contesta: a) Puede tener un automóvil su velocidad diriida hacia el norte y sin embaro la aceleración estar diriida hacia el sur? b) Y hacia el este? c) Cómo serían estos movimientos? v a) Sí, sería un movimiento hacia el norte con velocidad decreciente. El movimiento sería rectilíneo. a b) Sí. Su movimiento seiría una trayectoria parabólica, como se indica en el dibujo. La dirección de la aceleración respecto a la velocidad puede ser cualquiera. N v c) El primero es rectilíneo, y el seundo, parabólico. a E 9. Qué dirección tiene la aceleración de un cuerpo que es lanzado con determinada velocidad formando un ánulo α con la superficie de la Tierra? Haz un esquema que aclare la respuesta. La aceleración siempre apunta hacia la superficie de la Tierra (perpendicular a la misma y diriida hacia el centro). Y v α X 47

13 9 Cinemática (II): alunos tipos de 3. Se deja caer un cuerpo desde una altura h a la vez que se lanza otro objeto desde el mismo punto con velocidad horizontal v. a) Cuál de los dos llea antes a la superficie de la Tierra? b) Haz un esquema. a) Llean a la vez. El movimiento horizontal no afecta al vertical. b) v v = y = y t x = Ecuaciones del cuerpo que se deja caer sin velocidad inical. y x = vt y = y t Ecuaciones del cuerpo al que se le da una velocidad horizontal. En lo que respecta al movimiento vertical, la ecuación de movimiento es la misma para ambos: y = y t Si queremos cruzar transversalmente un río a nado, qué debemos hacer? Nadar en una dirección de forma que la suma de la velocidad de la corriente y la del nadador sea perpendicular a la corriente. La lanzadera espacial Endeavour dio 4 vueltas a la Tierra en 8 días y horas a una altura media de 463 km. Sabiendo que el radio medio de la Tierra es de 6 37 km. a) Haz un esquema con las velocidades orbitales de la nave (lineal y anular), así como la aceleración normal, a n, en la órbita. v nadador v total v C b) Por qué el valor de a n se parece tanto al valor de la aceleración de la ravedad en la superficie terrestre,? Ayuda: Hay «ravedad» en órbita? A qué fuerza se debe esa aceleración de la nave? 48

14 movimiento SOLUCIONARIO 33. ϕ 4 π rad a) ω = = = t ( ) s = 368, 4 π rad/s v =ω R = 3,68 4 π rad/s (463 m m) = = 7899,67 m/s an = ω R = (3,68 4 π rad/s) (463 m m) = = 93, m/s m b) Para un satélite en órbita se cumple s que = m a N, donde es la fuerza ravitatoria. M G Mm m v = d d G M v = = d d = a La intensidad del campo ravitatorio a una distancia d del centro de la Tierra es iual a la aceleración normal del satélite. Como el satélite se encuentra cerca de la superficie de la Tierra (en comparación con el radio), el valor de la aceleración normal es parecido al valor de en la superficie, es decir, 9,8 m/s : M = G ( R + h) T G M ; R T R + h = d Se lanza horizontalmente un proyectil con una cierta velocidad inicial. a) Demuestra lo que sucede con el alcance del proyectil si se dobla la velocidad de lanzamiento. b) También se dobla el alcance? a) El tiempo de caída es independiente de la velocidad horizontal v ; solo depende de la altura y. Ecuaciones del movimiento del proyectil: x = vt y = y t Y v Haciendo y = se obtiene el tiempo de caída: y t = b) Al duplicar la velocidad de lanzamiento se duplica el alcance. x = v y y. Así: x* = v para v ; x* = x. v lanzamiento v v lanzamiento v N T 84π rad = 77 4 s d X 49

15 9 Cinemática (II): alunos tipos de 34. Un móvil se mueve con velocidad lineal constante siuiendo semicircunferencias, tal y como muestra el esquema. a) Dibuja los vectores v y a en los puntos indicados. A b) En qué punto será más elevada la velocidad anular? c) Y la aceleración centrípeta? d) Dibuja un esquema similar para el caso de que el móvil se mueva con velocidad anular constante. a) v ya está dibujado (vectores en azul). La aceleración normal en cada punto va diriida hacia el centro de la circunferencia correspondiente. B B E I H G D C A E I G C H D b) ω= v. La velocidad anular es mayor para r pequeños. r La velocidad anular es mayor en G, H e I. v c) an =. Cuanto mayor es v y menor es r, mayor es a N. r En este caso, v = cte., por lo que a N será mayor en las curvas de menor radio, es decir, en G, H e I. d) Si la velocidad anular es constante, la velocidad lineal disminuye cuando disminuye el radio: v = ω R. 35. Indica si las siuientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) En un MUA la velocidad tiene siempre la misma dirección que la aceleración. b) En un MUA la representación ráfica de Δr frente a t siempre es una parábola, aunque el movimiento sea retardado. 5

16 movimiento SOLUCIONARIO c) En el punto más elevado de la trayectoria de un proyectil la velocidad total es nula. d) En el punto más elevado de la trayectoria de un proyectil la velocidad vertical es nula. e) El alcance de un proyectil solo depende de la velocidad inicial. f) El alcance de un proyectil depende del ánulo α de lanzamiento. a) also. v y a pueden tener cualquier dirección. b) Verdadero. c) also. Es nula la velocidad vertical. d) Verdadero. e) also. Depende de la velocidad inicial y del ánulo. f) Verdadero, aunque también depende de la velocidad inicial v Un coche A parte del punto kilométrico cero de una carretera a las :4 h con una velocidad constante de 8 km/h. Media hora más tarde otro coche B parte a su encuentro desde el mismo punto con una velocidad de km/h. a) Calcula el punto kilométrico de la carretera en que están situados ambos vehículos y el tiempo que transcurre hasta encontrarse. b) Qué velocidad debería llevar el coche B para que se encuentren en el punto kilométrico 8? :4 v A = 8 km/h; v B = km/h a) Cuando los coches se encuentran la posición de ambos es la misma. s A = v A t; s B = v B (t,5) 8 t = (t,5) 8 t = t 5 t = 5 t =,5 h s A = s B = 8 km/h,5 h = km b) s B = v B (t,5); s A = v A t. sa 8 km sb 8 km t = = = 5, h; vb = = =, 8 km/h v 8 km/h t 5, 75, h A Un pescador quiere atravesar un río de m de ancho para lo cual dispone de una lancha. a) Si la velocidad de la corriente es de 3 m/s, a qué distancia auas abajo del punto de partida se encuentra el pescador cuando consiue atravesar el río? b) Influiría la velocidad de la corriente en el tiempo que se tarda en atravesar el río? 5

17 9 Cinemática (II): alunos tipos de a) La distancia depende de la velocidad de la barca ( v B ). b) No, solo interviene la velocidad de la barca perpendicular al río: v B. x t α = x = d t α d v Por otro lado: v B B t α= v v C α v C Entonces: x d d v B v = t α = x = m v v C B C 38. En el anuncio de un nuevo modelo de coche se dice que es capaz de pasar de cero a km/h en 6 s. a) Calcula la aceleración media. b) Calcula el espacio que recorre durante este tiempo. Δv 7, 7 m/s a) km/h = m/s a = = = 46, m/s 3,6 = 7,7 m/s Δt 6 s b) s = at = 46 6, m/s s = 88, m 39. Representa ráficamente la velocidad y la posición frente al tiempo para el caso de un cuerpo que cae bajo la acción de la ravedad desde una altura de m. v (m/s) s (m) t (s) t (s) y = t v = t = 44, 3 m t y m = = = 45, s 98, m/s 5

18 movimiento SOLUCIONARIO 4. En un planeta un cuerpo lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de m/s tarda s en volver a su superficie. Calcula la aceleración de la ravedad en la superficie de dicho planeta. Ecuación que lia v y v : v = v * t Cuando el cuerpo alcanza la máxima altura (a los s de ser lanzado) v = : = m/s * s m/s * = = m/s s v 4. Un electrón que se mueve con una velocidad de 3 5 m/s frena debido a la existencia de otras caras. a) Si la aceleración de frenado es de 6 cm/s, cuánto tiempo tardará el electrón en reducir la velocidad a la mitad? b) Y en parar? c) Compara los resultados obtenidos y explica por qué ambos tiempos son iuales. a) v = 3 5 m/s; a = 6 cm/s = 4 m/s 5 v v 3 m/s v = v at v at t = = = 5 s 4 = a m/s 5 v 3 m/s b) = v at t = = = 3 s 4 a m/s c) El tiempo que se pide es el tiempo desde que la velocidad es la mitad hasta parar. Y este tiempo es iual al que tarde desde el inicio hasta que la velocidad es la mitad. 4. El cuerpo humano puede soportar una deceleración brusca de hasta 5 m/s (aproximadamente veinticinco veces la aceleración de la ravedad) sin sufrir daño. Si un automóvil se desplaza a 9 km/h y sufre una colisión que lo detiene casi instantáneamente salta el airba que se encuentra alojado en el volante. Calcula la distancia mínima que recorre el cuerpo del conductor antes de pararse, suponiendo que la deceleración a la que va a estar sometido durante el choque es la máxima que soporta. 9 km/h = 5 m/s. v 5 (m/s) v = as s = = = 5, m a 5 m/s 53

19 9 Cinemática (II): alunos tipos de 43. El tiempo transcurrido desde que se deja caer una piedra a un pozo hasta que se oye el sonido que produce al chocar con el aua es de 4 s. Con estos datos halla la profundidad del pozo. La velocidad del sonido en el aire es de 34 m/s. t t piedra enbajar sonido en subir = = h h v s t = t + t T p s h h h + = t v s T h h = t T v s h v t h T 8 + h+ tt = + 6 v h + = , s h h ht = t + v v s T s T s 8,655 6 h,76 h + 6 = h = 7,5 m 44. Un haz de iones positivos que posee una velocidad de,5 4 m/s entra en una reión y acelera. Se precisa que en 5 ms los iones alcancen un cátodo situado a 8 cm. a) Dibuja un esquema del ejercicio. b) Calcula la aceleración constante que hay que comunicarles. c) Halla la velocidad con que llean el cátodo. a) a v t = 5 ms s = 8 cm b) Ecuaciones del movimiento: ( s vt) s = vt + at a = t a = 4 (, 8m 5, m/s, 5 s) (, 5 ) s =, m/s c) v = v + at =,5 4 m/s, m/s,5 ms =,49 4 m/s 54

20 movimiento SOLUCIONARIO 45. Un balón es lanzado con un ánulo de 6 por encima de la horizontal y recorre una lonitud de 5 m en el campo de fútbol. a) Dibuja un esquema del ejercicio. b) Calcula la velocidad inicial. c) Qué altura alcanzó? a) 6 5 m v sen b) xmayor = α x 98, m/s 5m v = = v = 3, 8 m/ s sen α sen v sen α ( 3, 8 m /s) sen c) ymayor = = =, 7 m 9, 8m/s Qué aceleración actúa sobre un electrón en el «cañón de electrones» de un televisor que alcanza el % de la velocidad de la luz en un espacio de cm? Especifica claramente las suposiciones que has hecho para resolver este ejercicio. % de c = 3 km/s = 8333,3 m/s. Por tanto: v ( 8333, 3) (m/s) v = as a = = = 347, m/s s, m Se supone que se cumplen las leyes de Newton hasta v % de c. Un niño que se encuentra en la calle ve caer una pelota verticalmente desde la terraza de una casa. Si el niño se encuentra a 4 m de la pared y la altura de la casa es 5 m, calcula a qué velocidad media debe correr para atraparla antes de que lleue al suelo. Dibuja un esquema de la situación. Ecuación del movimiento de la pelota: y = h t Haciendo y = se calcula el tiempo que invierte el cuerpo en llear al suelo: h 3 = h t t = = = 75, s 98, La velocidad a la que debe correr el niño es: 4 m v = = 3, m/s 75, s h = 5 m v = 55

21 9 Cinemática (II): alunos tipos de 48. Demuestra las expresiones a) y b) siuientes a partir de las ecuaciones de la velocidad y el espacio recorrido en un MRUA: v = v ± at s = vt ± at a) v v = ay b) v v = ay Con el sino «+»: v = v + at; s = vt + at. Se despeja + en la primera y se sustituye en la seunda: v v v v v v t = s = v a a a + ( ) v v = as a Con el sino se hace de la misma forma. 49. El barco del problema de la páina 9 (v = 4 nudos) sale a faenar desde el puerto de Vio (Pontevedra) y se aleja 5 km de la costa. Allí permanece pescando durante h y lueo reresa al puerto con una velocidad constante de 3 nudos. Representa ráficamente la velocidad y la posición frente al tiempo durante todo el trayecto (ida y vuelta). 85 nudo = 85 milla/h = m/s = 5, m/s 36 v = 4 nudos = m/s; v = 3 nudos = 5 m/s. s 5 m t = = = 75 s = 5 min = h 5 min v m/s s 5 m t = = = s = 66, 6 min = h 46 min v 5 m/s v (m/s) 5 5 h 5 min s (km) 5 4 h 5 min 6 h 5,6 min t h 5 min 4 h 5 min 6 h 5,6 min t 56

22 movimiento SOLUCIONARIO 5. Escribe la ecuación de movimiento de un móvil que parte del punto (, 3) km y, tras horas moviéndose en línea recta, llea al punto (6, 9) km. a) Cuál es el vector velocidad del móvil? b) Cuál es el módulo de la velocidad? Expresa el resultado en km/h. a) r = r + vt v = (6, 9) km r = (, 3) km Por tanto: r r (6, 9) (, 3) (4, 6) v = = km/h= km/h = (, 3) km/h t y (6, 9) d v (, 3) x b) v = + 3 = 3 = 3, 6 km/h 57

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